몬테카를로 시뮬레이션은 언제 쓰나요?

수식으로 풀기 어려운 확률 문제를 무작위 표본 추출로 근사하는 기법입니다. 투자 수익률 시뮬, 프로젝트 일정·비용 추정(PERT), 보험 손실 분포, 게임 밸런싱, 금융 옵션 가격(Black-Scholes 대안) 등에 광범위하게 사용. 분포 가정만 합리적이면 복잡한 시스템도 시뮬 가능.

시뮬 횟수는 얼마나 늘려야 충분한가요?

표본평균의 표준오차 = σ/√N 이라 N 이 4배 늘면 정확도 2배. 일반적으로 N=10,000 이면 평균·σ 추정이 안정 수렴. 꼬리(99% 분위수) 추정에는 N=100,000 이상 권장. 본 도구는 최대 100,000회 지원.

정규분포와 균등분포 중 뭘 골라야 하나요?

정규분포(N(μ,σ²)) 는 자연·금융 데이터에 가장 자주 쓰이며 ±3σ 안에 99.7% 가 들어옵니다. 균등분포는 [μ−σ√3, μ+σ√3] 범위 내 모든 값이 같은 확률 — 최소·최대만 알 때 보수적 가정으로 적합. 데이터 분포가 알려져 있다면 정규, 모르고 범위만 안다면 균등.

몬테카를로 시뮬 — 정규·균등 분포로 평균·σ·95% CI 추정

분포 모드

분포 선택 정규(자연·금융) / 균등(범위만 아는 경우)

정규분포 균등분포

파라미터

평균 (μ) 기대 중심값

표준편차 (σ) 변동성 폭, 0 초과

시뮬 횟수 (N) 1,000 ~ 100,000

회

결과

시뮬 결과 — 평균 · 분산

-

파라미터를 입력하세요

표본 평균

-

표본 σ

-

95% 신뢰구간

-

최댓값 / 최솟값

-

중앙값

-

5%~95% 분위

-

히스토그램 (15 구간)

구간	빈도	비율	분포

어떻게 계산하나요

몬테카를로 시뮬레이션은 가정된 분포에서 N회 무작위 표본을 추출해 통계량을 추정합니다. 수식으로 풀기 어려운 시스템도 시뮬 가능.

1. 정규분포 — Box-Muller 변환

u₁, u₂ ~ Uniform(0,1)
z = √(−2 ln u₁) × cos(2π u₂)
x = μ + σz

두 균등 난수에서 표준정규 z 를 만들고 μ·σ 로 스케일. ±3σ 안에 99.7% 가 들어오는 종 모양 분포.

2. 균등분포

x ~ Uniform(μ − σ√3, μ + σ√3)
(이 범위에서 분산 = σ²)

이 범위 내 모든 값이 같은 확률. 최소·최대만 알 때 보수적 가정.

3. 통계량 산출

표본평균 x̄ = Σxᵢ ÷ N
표본 σ = √( Σ(xᵢ − x̄)² ÷ (N−1) )
95% CI = [x̄ − 1.96·SE, x̄ + 1.96·SE], SE = σ/√N

N 이 클수록 x̄ → μ, 표본 σ → σ 로 수렴 (대수의 법칙).

활용 예시

분야	시뮬 대상
금융	주식·환율 일일 수익률 분포 (μ=0.05%, σ=1.2%)
프로젝트	일정·비용 PERT 추정 (낙관·평균·비관)
보험	연간 손실 분포 (재해 빈도·심각도)
게임	밸런싱 시뮬, 레어 드롭 확률

한계와 주의

충분한 시뮬 횟수 (≥10,000) 권장 — N 이 작으면 결과가 시드에 따라 흔들립니다. 표본평균 표준오차 = σ/√N.
분포 가정의 한계 — 정규분포는 fat tail (극단값) 을 과소평가. 금융 위기·재해 같은 꼬리 사건은 정규로는 부족 (스튜던트-t 또는 GEV 권장).
JS 부동소수점 한계 — 매우 큰 값 또는 매우 작은 σ 에서는 정밀도 손실 가능. 1e15 이상 또는 1e−10 이하는 별도 도구 권장.
의사난수 — Math.random() 은 통계 시뮬용으로 충분하지만 암호학적 안전성은 없음. 시드 고정 불가.
95% CI 의 의미 — 표본평균이 모평균에서 얼마나 흔들리는지 범위. '진짜 평균이 95% 확률로 이 안' 이 아니라 '이 방식으로 100번 시뮬하면 95번은 모평균 포함' 의미.

몬테카를로 시뮬