MATH · STATISTICS
단순 선형 회귀 계산기
(x, y) 데이터 쌍을 입력하면 회귀선 y = ax + b 의 기울기·절편·결정계수 R²(설명력) 를 최소자승법(OLS)으로 즉시 산출합니다.
데이터 입력
결과
회귀식
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데이터를 입력하세요
기울기 a
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절편 b
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결정계수 R²
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표본 수 n
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x̄ / ȳ
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x 분산 / y 분산
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어떻게 계산하나요
단순 선형 회귀는 (x, y) 데이터 점들에 가장 잘 맞는 직선을 찾는 방법입니다. 잔차(yᵢ − ŷᵢ) 제곱의 합을 최소화하는 a, b 를 구합니다 — 최소자승법(OLS).
x̄ = Σxᵢ ÷ n, ȳ = Σyᵢ ÷ n
a = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) ÷ Σ(xᵢ − x̄)²
b = ȳ − a × x̄
R² = 1 − Σ(yᵢ − ŷᵢ)² ÷ Σ(yᵢ − ȳ)²
예: (1,2),(2,4),(3,6) → x̄=2, ȳ=4, a = ((1−2)(2−4)+(2−2)(4−4)+(3−2)(6−4)) ÷ ((1−2)²+0+(3−2)²) = 4÷2 = 2, b = 4 − 2×2 = 0 → y = 2x. 모든 점이 직선 위에 있어 R² = 1.
결정계수 R² 해석
| R² 범위 | 해석 | 예 |
|---|---|---|
| 0.9 ~ 1.0 | 매우 강한 선형 | 물리 법칙 검증 |
| 0.7 ~ 0.9 | 강한 선형 | 경제 지표 회귀 |
| 0.3 ~ 0.7 | 중간 | 사회과학 연구 |
| 0.0 ~ 0.3 | 약함 | 잡음 많은 관측 |
가정 — OLS 는 오차의 정규성·독립성·등분산성을 가정합니다. 잔차에 패턴이 보이면 모델이 부적합하다는 신호.
한계와 주의
회귀선은 강력하지만 가정 위반과 외삽 에 취약합니다.
- 상관 ≠ 인과 — 회귀가 잘 맞아도 인과관계 의미하지 않음
- 아웃라이어 1~2개로 a·b 가 크게 흔들림 — 잔차 시각화·로버스트 회귀 검토
- 데이터 범위 밖 외삽(extrapolation)은 위험 — 학습 범위 안에서만 신뢰
- n=1 이거나 모든 x 가 같은 값이면 분모 0 으로 회귀 불가
- 비선형 추세는 변수 변환(로그·제곱) 후 적용 또는 다항 회귀 활용