MATH · ALGEBRA
이차방정식 계산기
TL;DR ax²+bx+c=0 양변을 a 로 나누고 완전제곱식으로 변형하면 (x + b/2a)² = (b²−4ac)/4a² 가 됩니다.
ax² + bx + c = 0 의 두 근을 근의 공식으로 즉시 계산. 판별식·근의 합과 곱·꼭짓점·인수분해 가능 여부까지 한 페이지에.
계수 입력 — ax² + bx + c = 0
결과
두 근
-
계수를 입력하세요
판별식 D = b²−4ac
-
근의 합 (−b/a)
-
근의 곱 (c/a)
-
꼭짓점
-
인수분해
-
y절편 f(0)
-
결과 해석
어떻게 계산하나요
이차방정식 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) 은 항상 근의 공식 한 줄로 풀 수 있습니다.
x = ( −b ± √(b² − 4ac) ) / 2a
판별식 D = b² − 4ac
판별식 D 부호가 근의 종류를 결정합니다. D>0 이면 두 실근, D=0 이면 중근(겹친 실근), D<0 이면 두 허근(켤레 복소수).
판별식별 결과
| 판별식 | 근의 종류 | 예시 |
|---|---|---|
| D > 0 | 서로 다른 두 실근 | x²−5x+6=0 → x=2, 3 |
| D = 0 | 중근 (겹친 실근) | x²−4x+4=0 → x=2 (중복) |
| D < 0 | 서로 다른 두 허근 | x²+x+1=0 → x = −0.5 ± 0.866i |
비에타 정리 (근의 합·곱)
α + β = −b / a · α × β = c / a
근을 직접 구하지 않아도 합·곱을 알 수 있습니다. 인수분해·역산에 유용.
꼭짓점
꼭짓점 x 좌표 = −b / 2a
꼭짓점 y 좌표 = f(−b/2a) = c − b²/(4a)
포물선의 최솟값(a>0) 또는 최댓값(a<0) 위치. 최적화 문제에서 자주 활용.
한계와 주의
본 계산기는 실계수 이차방정식 만 다룹니다.
- a = 0 이면 이차방정식이 아님 — 본 계산기는 오류 표시 (일차방정식 별도)
- 계수가 매우 클 때 부동소수점 정밀도 한계 (절댓값 1e15 이상은 비추)
- 인수분해 표시는 정수 계수 + 근이 정수일 때만 시도, 그 외는 (x−α)(x−β) 일반형
- 복소수 입력은 미지원 — 실수 a·b·c 만 입력
흔한 오해
근의 공식과 인수분해 중 어느 게 정확하다?
둘 다 정확합니다. 같은 방정식에 대해 같은 답을 줍니다. 인수분해는 계수가 작고 근이 정수일 때 빠르고 직관적, 근의 공식은 모든 이차방정식에 항상 적용 가능. 근이 무리수·복소수면 인수분해는 어렵고 근의 공식이 필요. 일반적으로 학습 단계에서는 인수분해를 먼저 시도하고 안 되면 근의 공식을 사용.
판별식이 0이면 근이 1개다?
정확히는 "중근(서로 같은 두 근)"입니다. b²−4ac = 0이면 x = −b/2a 가 두 번 반복. 그래프상으로는 포물선이 x축에 한 점에서 접함. 한 점에서 만나지만 수학적으로는 "근 2개가 같은 값"이라 다중도(multiplicity) 2의 근으로 셈. 고차방정식까지 일관되게 적용되는 표현.
판별식이 음수면 풀 수 없는 방정식이다?
실수 범위에서 근이 없다는 뜻이고, 복소수 범위에서는 두 개의 복소수 근을 가집니다. 판별식 −D < 0이면 √D = i√|D| 형태로 복소수 근 산출. 본 계산기는 실수 범위만 다루므로 음수 판별식은 "실근 없음" 표시. 공학·물리(전기 회로 RLC 등)에서는 복소수 근이 실제 의미를 가집니다.