내적이 0 이면 무슨 의미인가요?

두 벡터가 서로 직교(수직, 90°)임을 의미합니다. 내적 a·b = |a||b|cos θ 에서 cos 90° = 0 이므로 내적도 0. 직교성 검증·정사영(projection) 계산·기저 벡터 구성에 자주 활용. 영벡터(크기 0)와의 내적도 0 이지만 이는 각도가 정의되지 않습니다.

외적은 왜 3D 에서만 정의되나요?

외적은 두 벡터가 만든 평면에 수직인 벡터를 만드는 연산이라 '제3의 방향' 이 필요합니다. 2D 에서는 그 방향이 없으므로 외적이 정의되지 않고, 대신 스칼라 외적(z 성분만, x₁y₂−y₁x₂)을 평행사변형 부호 면적으로 사용합니다. 7차원에서도 외적이 정의되지만 일반적이지 않음.

끼인각이 NaN 이 나오는 이유는?

두 벡터 중 하나라도 영벡터(크기 0)이면 cos θ 의 분모가 0 이 되어 각도를 정의할 수 없습니다. 본 계산기는 그 경우 '각도 정의 불가' 로 표시. 또한 부동소수점 오차로 cos θ 가 ±1 을 미세하게 넘으면 acos 가 NaN 인데, 이를 위해 [-1, 1] 로 clamp 처리합니다.

벡터 내적·외적 계산기 — 2D·3D 내적·외적·각도 동시 산출

차원 선택

2D (x, y) 3D (x, y, z)

벡터 a

벡터 b

결과

내적·외적·각도

-

두 벡터 값을 입력하세요

내적 a · b

-

외적 a × b (3D)

-

끼인각 θ

-

|a| / |b|

-

직교 여부

-

평행 여부

-

어떻게 계산하나요

벡터 두 개로 가장 많이 묻는 값은 내적·외적·끼인각. 모두 성분 단위 곱·합으로 계산됩니다.

내적: a · b = a₁b₁ + a₂b₂ (+ a₃b₃) — 스칼라
크기: |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²)
끼인각: cos θ = (a · b) ÷ (|a| × |b|), θ = arccos

예: a = (3, 4), b = (4, −3) → 내적 = 12 + (−12) = 0 → 두 벡터가 직교. |a| = 5, |b| = 5 이므로 cos θ = 0 ÷ 25 = 0 → θ = 90°.

외적 (3D 만)

a × b = (a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁)

외적 결과는 두 벡터가 만든 평면에 수직인 벡터. 크기 |a × b| = |a||b|sin θ 는 평행사변형 면적과 같음. 오른손 법칙으로 방향 결정.

내적 부호로 알 수 있는 것

내적	각도 θ	의미
> 0	0° ~ 90°	같은 방향 성분 우세
= 0	90°	직교 (수직)
< 0	90° ~ 180°	반대 방향 성분 우세
= \|a\|\|b\|	0°	완전히 평행

한계와 주의

영벡터(크기 0)와의 끼인각은 정의 불가 — '각도 정의 불가' 표시
외적은 3D 에서만 — 2D 에서는 스칼라 외적(부호 면적)으로 대체 가능
부동소수점 오차로 직교 판정에는 1e−9 tolerance 적용
내적·외적은 좌표계 선택에 영향 받지 않는 기하학적 양
매우 큰 좌표는 부동소수점 정밀도 한계 (절댓값 1e15 이상 비추)

벡터 내적·외적 계산기